"JUEGO... JUEGO... ¡¡¡Y NUNCA GANO!!!"

TALLER DE MATEMÁTICA: PROBABILIDAD

“JUEGO… JUEGO…

¡¡¡Y NUNCA GANO!!!”

5º Y 6º AÑO

ESCUELA Nº 1 “ARTIGAS”

MAESTRAS:

Susana Corcoll

Serranna Núnes

Junio de 2.010

FUNDAMENTACIÓN

La introducción del pensamiento aleatorio, complementario del pensamiento determinista que imperaba en los curricula de Matemáticas de Educación Primaria, parece justificada desde:

§ un punto de vista social, ya que hay numerosas situaciones del entorno del niño que revisten un carácter aleatorio (juegos infantiles y escolares, juegos de apuesta en el entorno familiar, etc.) que podrían ser aprovechadas para una formación social más completa de los escolares,

§ un punto de vista formativo, ya que el desarrollo del pensamiento lógico-matemático del alumno que aprende no puede basarse solamente en las disciplinas que desarrollan un visión determinista del pensamiento lógico, sino también en esta rama de las matemáticas que trata de modelizar el funcionamiento de lo incierto, de lo plausible, de lo probable.

La Educación Primaria ofrece múltiples posibilidades de desarrollo del pensamiento probabilista y, sin embargo, la introducción de esta rama de las matemáticas se pospuso durante mucho tiempo hasta la Educación Secundaria. Y queriendo aprovechar todas esas posibilidades, nos atrevemos a proponer una serie de talleres para la iniciación de los alumnos en el pensamiento aleatorio.

La exigencia de rigor que se plantea desde un punto epistemológico exige, además:

§ la introducción del pensamiento combinatorio, elemento coadyuvante para una correcta determinación de los sucesos asociados a cualquier experimento aleatorio que sobrepase los estrechos límites de la obviedad,

§ el tratamiento de datos, desde un punto de vista estadístico, para lo cual constituye una ayuda fundamental un desarrollo lo más completo del pensamiento aleatorio y de los conceptos ligados al mismo, consiguiendo así una derivación práctica de las teorías probabilistas de indudable valor formativo para la interpretación de la realidad.

Los estudios de Piaget e Inhelder, Engel, Glaymann y Varga, Fischbein, Martíni y Aglì, etc., plantean la posibilidad de ciertas adquisiciones en torno a los conceptos probabilísticos y combinatorios que cualquier maestro de Educación Primaria debería tener en cuenta si desea acercar a sus alumnos al conocimiento de ciertas ideas sobre el mundo del azar y sus aledaños.

La representación del azar, no intuitiva en la edad preescolar, se hace operativa en el período de la Educación Primaria como opuesto a lo determinista. Además la influencia social consigue que el alumno vaya adquiriendo, progresivamente, nociones cada vez más completas, de la frecuencia relativa ligada a los sucesos impredecibles del mundo del azar.

No parece del todo claro que el alumno de Educación Primaria sea capaz de proceder a la comparación de probabilidades en todos los casos. Sólo aparece clara esta adquisición si se trata de sucesos, asociados a experimentos diferentes, donde el número de casos favorables y el número de casos desfavorables son iguales en ambos experimentos. En casos distintos donde se trate de determinar la igualdad de probabilidades, no parece que se produzcan adquisiciones relevantes respecto a las que aparecen en el nivel anterior del infantil; no hay constancia de que el niño de Educación Primaria pueda determinar que dos sucesos son equiprobables en la práctica totalidad de los experimentos aleatorios que se les pueda proponer.

En este período de las operaciones concretas el niño sólo es capaz de determinar las posibilidades ligadas a un experimento combinatorio en el caso en que se le proporcionan un escaso números de elementos a combinar y, casi siempre, a través de operaciones de ensayo y error, con ciertas inseguridades sobre el agotamiento de todos los casos posibles. Parece posible que el desarrollo de determinados medios de representación (diagrama de árbol, tablas de doble entrada, etc.) pueden contribuir a la obtención de todos los casos posibles asociados a una situación combinatoria.

Casi todos los autores citados anteriormente opinan que la instrucción puede causar un efecto beneficiosos sobre la adquisición de las ideas probabilísticas y combinatorias en la Educación Primaria, contradiciendo en cierta forma las opiniones de Piaget e Inhelder que retrasaban tal adquisición hasta el período de las operaciones formales.

Los principios que sustentarán las propuestas didácticas susceptibles de mejorar la educación matemática de los alumnos son:

§ aprovechar el entorno familiar al alumno (juegos, loterías, entorno familiar, etc.) para proponer situaciones que le acerquen al mundo de la combinatoria y del azar, y a la determinación de ciertas probabilidades asociadas,

§ aprovechar el entorno escolar del alumno y las posibilidad de interdisciplinariedad que éste ofrece para plantear situaciones donde pueda organizar datos, combinarlos y calcular probabilidades asociadas,

§ enmarcar las situaciones propuestas en un campo de experimentación (con monedas, bolas, dados, cartas, etc.) donde se hagan patentes, para los alumnos, las distintas posibilidades de combinación, las distintas posibilidades de aparición de un determinado resultado y las distintas formas de registro y de organización de resultados,

§ desarrollar el vocabulario específico de los saberes que se pretende introducir, desde las expresiones coloquiales asociadas al mundo probabilístico, combinatorio o estadístico, hasta las expresiones propias de saber sabio que se está pretendiendo introducir,

§ desarrollar toda la serie de posibilidades de representación asociadas, para facilitar así: la organización de datos, la lectura de los mismos, la determinación de frecuencias y probabilidades, la consecución de todas las posibilidades combinatorias, la obtención de medidas ligadas a la probabilidad, estadística o combinatoria,

§ utilizar la Teoría de las Situaciones Didácticas como marco teórico para la proposición de situaciones donde se conceda una gran importancia a las fases de formulación y de validación de los resultados obtenidos en la resolución de las mismas,

§ organizar la secuencia de situaciones propuestas al alumno de forma que el trabajo en grupo se transforme en una constante y, de este modo, facilitar la aproximación del alumno a las tareas problemáticas complejas que suponen la mayoría de las situaciones relacionadas con el universo aleatorio.

Los principios enunciadas imponen una cierta cautela a la hora de seleccionar los contenidos a abordar, a la vez, los estudios sobre la didáctica del tema de los principales investigadores (Engel, Fischbein, Varga, etc.) nos animar a ser un poco más osadas en la proposición de los mismos. Los organizaremos en dos partes:

§ desarrollo primario de la combinatoria:

§ combinación sin reemplazamiento: variaciones sin repetición, permutaciones como caso particular; la importancia de la consideración del orden, combinaciones

§ la combinatoria con reemplazamiento: formación de variaciones; representación de variaciones, posibilidades,

§ desarrollo primario de las ideas probabilistas:

§ experimentos aleatorios y experimentos deterministas,

§ conjunto de sucesos asociados a un experimento aleatorio,

§ sucesos seguro, probable e imposible,

§ asignación de frecuencias a un suceso, frecuencia absoluta y relativa de un suceso, representaciones asociadas

§ comparación de frecuencias relativas,

§ noción de probabilidad, comparación de probabilidades

Creemos que se trata de una selección susceptible de ser desarrollada en Educación Primaria si se introducen los contenidos expresados en él de forma que se respete el nivel cognitivo de los alumnos y se propongan las situaciones didácticas adecuadas para desarrollarlos.

OBJETIVOS

§ Explorar en el pensamiento no determinista.

§ Facilitar la constitución de intuiciones probabilísticas como instrumentos para tomar decisiones.

FORTALEZAS

§ Participación voluntaria de los alumnos y las maestras en el taller.

§ Actitud favorable de los alumnos de 5º y 6º año frente a las propuestas de trabajo en proyectos y talleres, propuestas en las que trabajaron en más de una oportunidad.

§ Número adecuado de alumnos para trabajar en propuestas de taller.

§ Maestras con experiencia en propuestas de trabajo de este tipo.

DEBILIDAD

§ Conocimiento disciplinar por parte de las maestras.

PROBLEMA

§ No priorización de esta rama de las Matemáticas que trata de modelizar el funcionamiento de lo incierto.

RECURSOS DISPONIBLES

HUMANOS:

§ alumnos,

§ maestras.

MATERIALES:

§ juegos y juguetes,

§ material fungible.

CONTENIDOS

El proyecto involucra contenidos conceptuales, además de contenidos procedimentales y actitudinales, que generalmente se dan en forma conjunta y relacionados entre sí.

CONCEPTUALES:

Como ya se ha señalado, los contenidos conceptuales a abordar serán los siguientes:

§ desarrollo primario de la combinatoria:

§ combinación sin reemplazamiento: variaciones sin repetición, permutaciones como caso particular; la importancia de la consideración del orden, combinaciones

§ la combinatoria con reemplazamiento: formación de variaciones; representación de variaciones, posibilidades,

§ desarrollo primario de las ideas probabilistas:

§ experimentos aleatorios y experimentos deterministas,

§ conjunto de sucesos asociados a un experimento aleatorio,

§ sucesos seguro, probable e imposible,

§ asignación de frecuencias a un suceso, frecuencia absoluta y relativa de un suceso, representaciones asociadas

§ comparación de frecuencias relativas,

§ noción de probabilidad, comparación de probabilidades

PROCEDIMENTALES:

§ Planificación de la tarea que permita analizar los datos, seleccionar estrategias de trabajo y anticipar resultados en forma estimativa.

ACTITUDINALES:

§ Dinámica de trabajo que propicie actitudes de cooperación, solidaridad, intercambio, donde cada integrante pueda encontrar su lugar, favoreciendo su autoestima.

ESTRATEGIAS

Se trabajará en algunos momentos en forma de plenario, con el objeto de ofrecer información, hacer aclaraciones generales, puestas en común, establecer consignas, etc., y en otras instancias se trabajará en pequeños equipos conformados por las maestras intercalando alumnos de distintos grupos y diferente rendimiento intelectual.

En general, se jugará y se resolverán situaciones problemáticas.

CRITERIOS Y MODALIDADES DE SEGUIMIENTO Y

EVALUACIÓN DE LAS ACTIVIDADES Y LOGROS

SEGUIMIENTO:

Las maestras irán siguiendo paso a paso los logros del grupo con relación a los objetivos de cada etapa, para seguir avanzando o retomar aspectos que no hayan alcanzado niveles de suficiencia.

EVALUACIÓN:

Se realizará una evaluación individual diagnóstica y una final, en dos aspectos: actitudinales (frente al trabajo en grupo) y conceptuales (desarrollo primario de la combinatoria y de las ideas probabilistas).

ESBOZO DEL PROYECTO

SECUENCIA DIDÁCTICA PARA DESARROLLAR LAS PRIMERAS IDEAS DE COMBINATORIA

La construcción de situaciones didácticas que conforme la secuencia correspondiente se tiene que guiar por los principios generales establecidos en las teorías de la didáctica fundamental, ya que se trata de elaborar aquellas situaciones que servirán para que los alumnos inicien la elaboración de una serie de conceptos nuevos, conceptos que tienen que ver con las teorías matemáticas sobre la combinatoria. Se debe subrayar el carácter introductorio de dichas situaciones, ya que todos los estudios sobre la adquisición de esos conceptos en el niño apuntan a la imposibilidad de llegar a una institucionalización de los mismos hasta el período madurativo de las operaciones formales.

Ya se ha señalado el aprovechamiento de situaciones próximas al alumno como uno de los principios didácticos que deben estar presentes en el diseño de estas situaciones introductorias, pero además es deseable que tales situaciones vayan acompañadas, en su resolución, por toda una serie de representaciones gráficas que ayuden a la resolución de las mismas. Para ello las maestras tendremos que gestionar cuidadosamente una variable didáctica tan importante como es la de la representación del problema.

§ OBTENCIÓN DE ASOCIACIONES SIN REPETICIÓN:

Una posibilidad es aprovechar situaciones escolares y sociales, como son las celebraciones de fiestas de disfraz, para diseñar situaciones didácticas a propósito de este tema, aunque también son interesantes los distintos juegos de “raspaditas” que vienen como premio en las golosinas que compran para la merienda.

§ Situación de introducción: formación de pares, ternas, cuaternas, etc.

Una posibilidad:

Para una fiesta de disfraces se han fabricado tres tipos de máscaras y cuatro tipos de trajes. ¿De cuántas formas distintas podremos vestir a un personaje? o ¿Cuántas máscaras y cuántos trajes tendremos que construir para materializar todos los disfraces posibles?

§ Situaciones propias de asociaciones sin repetición, las combinaciones

Situándonos en el mismo contexto de la situación anterior, una posible situación sería la siguiente:

Luego de elegir a cinco alumnos de la clase, ¿cuántas parejas distintas se pueden formar con esos cinco alumnos?

§ La consideración del orden en las asociaciones formadas, las variaciones y las permutaciones

Una posibilidad:

Se han establecido en la clase cuatro estaciones distintas para la hora de juego: la de los juegos de mesa, la de los juegos de construcción, la de los juegos con la XO y la de juego libre. Juan, Pedro, Jorge y Antonio son cuatro niños de la clase a los que le ha tocado hoy jugar en esas estaciones. ¿De cuántas formas se pueden distribuir en esas estaciones Jorge y Antonio, si cada uno ha de jugar en una estación distinta?

§ OBTENCIÓN DE ASOCIACIONES CON REPETICIÓN:

Para completar el panorama de los principales resultados de combinatoria, se tienen que considerar asociaciones en que se pueda dar una repetición de elementos en las asociaciones que se puedan formar.

Centrándonos, como hasta ahora en el mundo próximo al alumno, se puede sugerir una situación como la siguiente:

Para una competencia se han elegido, entre los alumnos que mejor saltan de la clase, a tres alumnos (Jorge, Pedro y Antonio) y a tres alumnas (Jessica, Paloma y Beatriz). Cada uno de ellos debe realizar dos saltos, sin haberse establecido un orden entre ellos. ¿Quiénes pueden realizar los dos primeros saltos?

SECUENCIA DIDÁCTICA PARA DESARROLLAR LAS PRIMERAS IDEAS DE PROBABILIDAD

La elaboración de una secuencia didáctica sobre la probabilidad, para alumnos de Educación Primaria, debería tener en cuenta una progresión que partiendo de los fenómenos aleatorios nos llevase a la asignación de las probabilidades asociadas a tales fenómenos. En ella habría que tener en cuenta el auxilio que puede prestar, en todo momento, el cálculo combinatorio, para determinar sobre todo los sucesos asociados a un experimento aleatorio.

§ CONSTRUCCIÓN DE UNA MAQUETA PARA EL PLANTEAMIENTO DE FENÓMENOS ALEATORIOS, CON UNA DETERMINACIÓN PRIMARIA DE LA PROBABILIDAD

Del mismo modo que se actúa en todas las magnitudes medibles, se necesita contar con un material didáctico que facilite la concreción de los experimentos aleatorios. A ese material didáctico se le llama maqueta de la probabilidad y es el material que se utilizará para plantear distintas situaciones en torno a los experimentos aleatorios y a las probabilidades asociadas a los experimentos del mismo.

Dicha maqueta debe estar constituida por toda una serie de materiales susceptibles de generar fenómenos aleatorios:

§ dados,

§ monedas en que se puedan distinguir dos partes diferenciadas,

§ juegos de cartas,

§ ruletas con diferente números de sectores,

§ bolas o fichas de diferentes colores o números para ser extraídas de una bolsa opaca,

§ loterías,

§ quinielas,

entre otros, una serie de materiales que permitan generar un serie de sucesos aleatorios a los que se puede asignar una probabilidad, con los cuales los alumnos deben estar familiarizados.

§ PERCEPCIÓN DEL AZAR: FENÓMENOS ALEATORIOS Y FENÓMENOS DETERMINISTAS

Los niños de los primeros niveles de Educación Primaria poseen con anterioridad una idea inicial sobre la existencia de experimentos sobre los que se puede elaborar una hipótesis de resultados asociados y otros en los que tal previsión no es posible. La influencia del entorno social (juegos, medios de comunicación, apuestas sobre resultados deportivos, etc.) va instalando en la mente del niño la idea de que hay experimentos para los cuales no es posible decir, con toda seguridad, lo que se va a verificar.

Se propondrá pues someter a los alumnos a una batería de experimentos, para que ellos determinen si están seguros o no del resultado de los mismos.

Una posible proposición de experimentos y preguntas al respecto:

§ Si acercamos una llama a un papel, ¿qué pasa?, ¿estamos seguros de lo que va a pasar?

§ Si lanzamos una moneda al aire, ¿qué resultados podemos obtener?, ¿estamos seguros de lo que va a salir?

§ Y si lanzamos un dado, ¿podemos decir con toda seguridad que saldrá un 6?

§ Vamos al cine, ¿te dejan entrar si no tienes entrada?

§ Si nos hemos perdido en la excursión de la escuela y llegamos a un cruce en el que hay tres caminos, ¿podemos decidir con toda seguridad qué camino tomar?

La puesta en situación tiene que dar como resultado la existencia de dos tipos de situaciones que se contraponen: aquellas en que el resultado se puede deducir con toda seguridad (experimentos deterministas) y aquellas donde no es posible determinar un resultado dado (experimentos aleatorios).

§ DETERMINACIÓN DE RESULTADOS ASOCIADOS A UN EXPERIMENTO ALEATORIO

Se puede comenzar planteando directamente a los alumnos una situación como:

Al lanzar dos dados, ¿cuántas parejas distintas de números podemos obtener?

§ GENERACIÓN DE OTROS SUCESOS ASOCIADOS A UN EXPERIMENTO ALEATORIO

Una posibilidad:

En un juego de la oca, se lanzan dos dados simultáneamente y se avanza tantos lugares como indica la suma de los dos dados.

Aquí se generan otra serie de sucesos ya que habría que atender a la suma obtenida entre las puntuaciones de ambos dados, estos nuevos sucesos son sucesos compuestos a partir de los sucesos elementales anteriores, ya que a efectos prácticos de lo que se trataría es de tener en cuenta todas las posibilidades de suma que se generan al realizar el mismo experimento aleatorio del lanzamiento de los dados. Como ejemplo, el suceso “sumar 7”, se obtiene de la composición de los sucesos elementales: sacar 1 y 6, sacar 6 y 1, sacar 2 y 5, sacar 5 y 2, sacar 3 y 4 y sacar 4 y 3.

A los efectos didácticos se le pueden plantear a los alumnos preguntas relacionadas con tales sucesos compuestos, como:

¿Hay más posibilidades de obtener una suma de 7 o una suma de 12?, ¿cuántas posibilidades hay de sacar como suma 12?, ¿cuántas posibilidades hay de sacar como suma 2?, ¿qué es más posible, que obtengas una suma 7 o una suma 8?

Todas estas preguntas contribuirán a la comprensión de la situación planteada.

Se podrían plantear también preguntas como:

¿Qué posibilidades tenemos de sacar como suma 1?, ¿qué posibilidades tenernos de sacar como suma un número comprendido entre 2 y 12?

Tales preguntas darían lugar a dos sucesos que se encuentran asociados a cualquier experimento aleatorio: el suceso imposible y el suceso seguro, y ambos tendrán que ser considerados en cualquier experimento aleatorio, ya que la experiencia social de los alumnos de Educación Primaria supone el manejo de ambos tipos de sucesos, como se puede detectar al seguir sus comentarios al referirse a cualquier experimento de tal tipo.

§ MEDIDA ELEMENTAL ASOCIADA A UN EXPERIMENTO ALEATORIO: DETERMINACIÓN DE LAS FRECUENCIAS ABSOLUTA RELATIVA DE UN SUCESO

En cualquier experimento aleatorio, una vez determinados los sucesos elementales asociados al mismo y otra serie de sucesos que tengan que ver con las situaciones particulares en las que intervenga tal experimento aleatorio, es preciso contar el número de veces que aparece el suceso considerado en cada situación, con vistas a determinar las posibilidades de aparición de cada suceso, en una situación que por su propio carácter no permite deducir resultados establecidos de antemano.

Para la introducción didáctica a los conceptos de frecuencia absoluta y frecuencia relativa de un suceso que se pretende asociar a cualquier experimento aleatorio, se podría diseñar una situación como la siguiente:

Para determinar quién distribuirá hoy los cuadernos, cada uno lanzará diez veces una moneda, ante todos los demás. Ganará quién obtenga más caras en sus diez lanzamientos.

§ EL SEGMENTO DE LAS PROBABILIDADES

La probabilidad de un suceso vendrá dada por una fracción cuyo numerador es siempre menor que el denominador y, por tanto, es siempre un número menor que 1. Tal resultado debería de ser deducido del planteamiento de situaciones que confirmasen ese resultado general. He aquí una posible situación:

Se lanza un dado, ¿qué probabilidad hay de que salga 8?, ¿qué probabilidad hay de que salga uno de los 6 primeros números?, ¿qué probabilidad hay de que salga un 5?

El lanzamiento físico repetido del dado mostrará los resultados que se obtienen y, por tanto, no será muy difícil que el alumno intuya la probabilidad del suceso imposible, que intuya también la probabilidad del suceso seguro que es 1 y que las demás probabilidades son siempre números comprendidos entre 0 y 1.

Este resultado sobre las probabilidades se podría extender a cualquier experimento aleatorio que se considerase y por ello se podría considerar un segmento representativo de las probabilidades asociadas.

Para dotar de sentido a otras probabilidades que se podrían dar, como asociadas al experimento planteado, se puede intentar que los alumnos respondan a preguntas multirespuestas como:

¿Qué suceso tendría una probabilidad muy próxima a 1?, ¿y un suceso con una probabilidad próxima a 0?

§ COMPARACIÓN DE PROBABILIDADES

Ante la intuición de la probabilidad que es posible conseguir en el nivel de Educación Primaria, conviene plantear situaciones que den lugar a una comparación de probabilidades. Una muestra de tales situaciones podría ser la siguiente:

Disponemos de tres urnas: la primera con tres bolas blancas y una negra, la segunda con dos bolas blancas y tres bolas negras y la tercera con dos bolas blancas y una bola negra. Se saca una bola de cada urna. ¿En cuál hay más probabilidad de sacar bola blanca? La bola negra, ¿dónde tiene más probabilidades de ser obtenida?

PLANIFICACIONES DE TALLER